Fundamentos de las matemáticas booleanas. Enciclopedia de radioelectrónica e ingeniería eléctrica.

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El análisis de dispositivos combinacionales y circuitos lógicos digitales se lleva a cabo más fácilmente utilizando matemáticas booleanas, que operan con solo dos conceptos: verdadero (1 lógico) y falso (0 lógico). Como resultado, las funciones que muestran información toman en un momento dado solo los valores 0 o 1. Este tipo de funciones se denominan funciones lógicas. Las funciones lógicas Y de varias variables (X0, X1, ..., Xn-1) determinan la naturaleza de las operaciones lógicas, por lo que la variable Y se asigna a un conjunto de variables de entrada

Y=f(X0, X1, ..., Xn-1).

La función de transformación se caracteriza más claramente por una tabla, en cuyas filas cada combinación de variables de entrada X corresponde al valor de la variable Y. Se denomina tabla de verdad.

Las principales funciones lógicas son la multiplicación lógica (conjunción), la suma lógica (disyunción) y la negación lógica (inversión). En la multiplicación lógica, las variables de entrada (dos o más) se conectan mediante una unión AND. Esta operación se denota por /\ o el signo de multiplicación (*). La función Y1=X1*X2 toma el valor de 1 lógico solo si todas las variables de entrada son iguales a 1. Si al menos una variable es igual a 0, entonces la función de salida es igual a 0 (tabla 1).

En adición lógica, dos o más declaraciones están conectadas por la unión OR (OR). Esta operación se denota con el símbolo \/ o el signo de suma (+). La tabla de verdad para la disyunción se ve así.

El enunciado (X1 + X2) es verdadero si al menos uno de los enunciados incluidos en él es verdadero.

Con negación lógica, la función NO es (NOT), el valor de la función de salida es opuesto a la variable de entrada (Tabla 3). Esta operación se denota con una X (léase "NO X").

La conjunción, la disyunción y la inversión pueden expresar cualquier otra operación más compleja sobre enunciados. Por tanto, el sistema de funciones Y1=X1*X2, Y2=X1+X2 e Y3=-X tiene completitud funcional. Como ejemplo, considere varias funciones implementadas utilizando elementos de tecnología informática. La equivalencia (o equivalente) es la función Y de dos argumentos X1 y X2, que toma el valor=1 cuando X1=X2=1 o cuando X1=X2=0. Para diferentes valores de los argumentos X1≠X2, el valor de la función Y=0. Se puede demostrar que la función Y tiene la forma Y=X1*X2+(-X1)*(-X2), lo cual se confirma sustituyendo los valores correspondientes de los argumentos en la expresión. La inequivalencia es una función Y de dos argumentos X1 y X2, que toma el valor 1 para X1≠X2, y el valor 0 para X1=X2=0 o,. en X1=X2=1. En este caso, tendremos Y=X1*X2+X1*X2. La operación de desigualdad a menudo se llama suma módulo 2 y se denota por Y=X1(+)X2. También hay sistemas funcionalmente completos que consisten en una sola función. Estas incluyen, en particular, las funciones AND-NOT (Y= -(X1*X2) y OR-NOT (Y=-(X1+X2)), que son ampliamente utilizadas en el modelado de dispositivos digitales. OR-NOT de dos variables X1 y X2.

Las matemáticas booleanas le permiten transformar fórmulas que describen declaraciones complejas para simplificarlas. Esto ayuda al final a determinar la estructura óptima de un dispositivo digital particular que implementa cualquier función compleja. Bajo estructura óptima, se suele entender la construcción de un dispositivo en el que el número de elementos incluidos en su composición es mínimo.

Autor: -=GiG=-, gig@sibmail; Publicación: cxem.net

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