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ENCICLOPEDIA DE RADIOELECTRÓNICA E INGENIERÍA ELÉCTRICA Cálculo de filtros RC. Enciclopedia de radioelectrónica e ingeniería eléctrica.
Enciclopedia de radioelectrónica e ingeniería eléctrica. / Radioaficionado principiante Consideremos circuitos selectivos de frecuencia o selectivos que tienen un efecto de filtrado, es decir, las señales con algunas frecuencias se transmiten mejor, con otras, peor. A veces, esta propiedad de los circuitos es perjudicial, por ejemplo, en los amplificadores de audio de alta calidad, donde se esfuerzan por lograr el mayor ancho de banda posible. Y a veces es útil, digamos, en receptores de radio, cuando de una gran cantidad de señales de estaciones de radio que operan en diferentes frecuencias, es necesario aislar la señal de una sola, que transmite en una frecuencia que conoce. Los circuitos de filtrado (filtros) deben contener necesariamente elementos reactivos: capacitancia y/o inductancia, ya que la resistencia activa de las resistencias no depende de la frecuencia (en el caso ideal). En realidad, siempre existen capacitancias e inductancias parásitas (instalación, cables, uniones p-n, etc.), por lo que casi cualquier circuito resulta ser un filtro en un grado u otro, es decir, sus parámetros dependen de la frecuencia. Primero, veamos las cadenas RC más simples. En la Fig. La Figura 28a muestra un diagrama de un filtro de paso bajo (LPF) simple, que deja pasar las frecuencias bajas y atenúa las frecuencias altas.
El coeficiente de transmisión es la relación K = Uout/Uin (más precisamente, es el módulo o el valor absoluto del coeficiente de transmisión). Calculémoslo usando la información que ya conocemos sobre los circuitos de corriente alterna. La corriente en el circuito es:
y el voltaje de salida es igual a la caída de voltaje en el capacitor C:
Sustituyendo la corriente, encontramos
El coeficiente de transmisión resultó complejo. Esto significa que el voltaje de salida del filtro está desfasado con respecto a la entrada. Para enfatizar la naturaleza compleja de K, a menudo se lo denota como K(jω). Encontremos el módulo (valor absoluto) y el argumento (fase) K
Tanto la magnitud como la fase de la ganancia dependen de la frecuencia o se dice que son funciones de la frecuencia. Un signo negativo del argumento indica que la fase de la señal de salida está por detrás de la fase de la señal de entrada. Si traza sus gráficos, obtendrá las características de amplitud-frecuencia y fase-frecuencia del filtro (AFC y PFC), que se muestran en la Fig. 28,6 y en respectivamente. El filtro funciona de la siguiente manera. En las frecuencias más bajas, la capacitancia del capacitor es alta y la señal se transmite de entrada a salida a través de la resistencia R prácticamente sin atenuación. A medida que aumenta la frecuencia, la capacitancia cae y el circuito actúa como un divisor de voltaje. A la frecuencia de corte ωc, la reactancia capacitiva es igual a la activa, y ωcRC = 1. Sin embargo, el módulo K no es igual a 1/2, como sería el caso de las resistencias activas, sino que es 1/V2 = 0,7 , como se puede ver en el diagrama vectorial de voltaje (Fig. 28,d). El cambio de fase introducido por la cadena en la frecuencia de corte es de 45°: este es el retraso de la fase de la señal de salida con respecto a la fase de la entrada. Con un aumento adicional de la frecuencia, el módulo del coeficiente de transmisión cae en proporción a la frecuencia y el cambio de fase tiende a -90°. A menudo, para simplificar los cálculos, se introduce la notación RC = τ. (constante de tiempo de cadena), ωRC = ω/ωс = x (frecuencia generalizada). El coeficiente de transmisión en estas notaciones se escribe de forma muy sencilla:
Es aconsejable volver a las designaciones anteriores solo después de realizar todos los cálculos. En nuestro análisis, asumimos tácitamente que el circuito está alimentado por un oscilador con una resistencia interna muy baja y su salida está descargada. En realidad, la fuente de señal siempre tiene alguna resistencia interna R1, y si está activa, solo necesita agregarse a R. De manera similar, si la carga tiene una capacitancia CH, solo necesita agregarse a C. Si la carga tiene una resistencia activa RH, entonces el módulo K ya está en las frecuencias más bajas, donde la influencia de la capacitancia puede despreciarse, será menor que la unidad y será (simplemente calculamos según la ley de Ohm) RH/(R + RH ). La frecuencia de corte también aumentará y, como se puede calcular fácilmente de la manera descrita anteriormente, ya no será
donde R' es la resistencia obtenida al conectar R y Rn en paralelo. A continuación se muestra un ejemplo de la aplicación práctica de la información presentada. El amplificador de video de TV debe transmitir una banda de frecuencia de 6 MHz y funciona con una carga capacitiva que consiste en la capacitancia de salida del transistor Cm, la capacitancia de montaje Cm y la capacitancia entre electrodos de la rejilla de control del cinescopio Ck (Fig. 29, a ). Su suma se puede estimar con algún tipo de medidor de capacitancia (¡por supuesto, con el televisor apagado!) o utilizando datos de referencia. Sea 25 pF: esta será la capacidad del circuito RC en consideración. La resistencia R de la cadena se obtiene conectando en paralelo la resistencia interna del transistor (generador de señal) y la resistencia de carga Rн. El primero se puede encontrar a partir de las características del colector del transistor, tomando un pequeño incremento ΔUк cerca del voltaje operativo del colector Uк y encontrando el incremento de corriente correspondiente ΔIк
Normalmente la resistencia interna es mucho mayor que la resistencia de carga, entonces podemos considerar R = Rн. Encontremos que la resistencia de carga permitida en función de la respuesta de frecuencia cae a 0,7 (en 3 dB) a una frecuencia de 6 MHz. La frecuencia de corte angular será
(redondeo). Como RC = 1 /ωс,
Naturalmente, nos gustaría elegir una resistencia de carga mayor, lo que aumentará la ganancia y reducirá la corriente consumida por el transistor, pero esto no se puede hacer debido al bloqueo de las frecuencias superiores del espectro de video, lo que conducirá a una pérdida. de claridad de imagen.
Por diversión, continuemos con el cálculo. Deje que se aplique una señal con una amplitud de hasta 50 V a la rejilla del cinescopio, luego la corriente del transistor debe ser de 50 mA. La resistencia de la carga también caerá 50 V, el voltaje de la fuente de alimentación debe ser de al menos 100 V y la resistencia de carga liberará una potencia de 50 V - 50 mA = 2,5 W. El transistor disipará la misma potencia. La característica de carga para este caso se muestra en la Fig. 29, b junto con los diagramas de tensión y corriente (que, cabe señalar, en televisión rara vez son sinusoidales). Ahora debería quedar claro por qué la etapa de salida del amplificador de video está hecha con un transistor potente y se coloca una resistencia potente en la carga, aunque el cinescopio no consume energía a través del circuito del electrodo de control (rejilla). Para mejorar de alguna manera la situación, se han inventado muchas formas. Uno de ellos consiste en corregir la respuesta de frecuencia conectando en serie con la carga una bobina con una pequeña inductancia (Fig.29, a), seleccionada de modo que resuene con la capacitancia total C en algún lugar a la frecuencia de corte o ligeramente por encima. El circuito oscilatorio resultante con un factor de calidad muy bajo (no más de 1...1.5) contribuye a un aumento de la respuesta de frecuencia cerca de la frecuencia de corte. En la Fig. 29, la línea continua muestra la respuesta de frecuencia del amplificador antes de la corrección, correspondiente a la respuesta de frecuencia de un circuito RC simple, y la línea discontinua muestra la respuesta de frecuencia después de encender la inductancia. De esta manera, el ancho de banda de las frecuencias transmitidas se amplía entre 1,5...2 veces, o la ganancia y eficiencia de la cascada aumentan en la misma cantidad. La reducción del ancho de banda descrita anteriormente se produce en cada etapa del amplificador, lo que debe tenerse en cuenta al diseñar amplificadores multietapa. Por ejemplo, en el caso de dos cascadas idénticas, la pendiente de la respuesta de frecuencia en cada una no debe ser superior a 0,84 (0,842 = 0,7), en el caso de tres, no más de 0,89. A veces, especialmente en los amplificadores de vídeo, se utilizan “pequeños trucos”: la etapa preliminar, en la que tanto las capacitancias entre electrodos como la oscilación del voltaje de salida son menores, se diseña de banda ancha, con un aumento en la respuesta de frecuencia en altas frecuencias, compensando la Disminución de la respuesta de frecuencia en la etapa de salida. La cadena descrita (ver Fig. 28, a) se denomina filtro de paso bajo cuando se consideran sus características de frecuencia, y también se llama integrador cuando se considera el paso de una señal de pulso. Deje que actúe una caída de tensión con un borde corto en la entrada de la cadena (Fig. 30). El voltaje de salida no aumentará inmediatamente, ya que el capacitor necesita tiempo para cargarse con la corriente limitada por la resistencia R.
Sólo en el primer momento después del impacto de la diferencia la corriente será igual a UBX/R, luego disminuirá a medida que aumente el voltaje a través del capacitor. Al crear una ecuación diferencial para el voltaje de salida y resolverla, podemos establecer que
donde e es la base de los logaritmos naturales. Durante el tiempo τ = RC, el voltaje de salida aumenta a aproximadamente 0,63 del valor de entrada y luego se acerca asintóticamente a él. Así, la cadena integradora “supera” los bordes pronunciados de la señal, lo que, dicho sea de paso, explica la disminución de la claridad de la imagen de televisión. Pasemos a los filtros de paso alto (HPF), el más simple de los cuales (cadena RC diferenciadora) se muestra en la Fig. 31, a. El coeficiente de transmisión ahora se expresa de la siguiente manera:
La respuesta en frecuencia de la cadena se muestra en la Fig. 31, b. La fórmula para la frecuencia de corte sigue siendo la misma. La respuesta de fase también es la misma, pero el signo de φ cambia: la fase de la señal de salida está por delante de la fase de la señal de entrada. Está cerca de 90° en las frecuencias más bajas y se acerca a cero en las frecuencias altas (el gráfico de la Fig. 28c es suficiente para subir 90° a lo largo del eje φ). En realidad, todas las expresiones para el filtro de paso alto se obtienen a partir de las fórmulas del filtro de paso bajo reemplazando la frecuencia generalizada x por -1/x', que se utiliza muy a menudo al calcular cualquier filtro. La respuesta al impulso de la cadena se muestra en la figura. 32. Es como lo contrario del anterior: el voltaje de salida aumenta bruscamente, pero luego cae según una ley exponencial de acuerdo con la vista. Durante un tiempo igual a la constante de tiempo de la cadena t, disminuye a 0,37 de la entrada, en el siguiente intervalo t - nuevamente a 0,37 y así sucesivamente (por cierto, esta es una buena regla para trazar exponenciales: para cada división horizontal, la coordenada vertical de la curva debe aumentar o disminuir en la mismo porcentaje). Casi todas las etapas que separan una cadena RC tienen un filtro de paso alto descrito. Incluso si no existe una resistencia explícita R, es la resistencia de entrada de la etapa conectada detrás del capacitor de acoplamiento. Si también tenemos en cuenta que la capacitancia parásita en la salida de la etapa forma un filtro de paso alto, entonces queda claro que cualquier etapa del amplificador limita el ancho de banda de las frecuencias transmitidas tanto desde abajo como desde arriba, es decir, es un filtro de paso de banda. . Para pulsos rectangulares que pasan a través de la etapa del amplificador, los bordes pronunciados se suavizan (acción de filtro de paso bajo) y la parte superior se cae (acción de filtro de paso alto). Para aumentar el efecto de filtrado de los circuitos RC, varios de ellos se conectan en serie uno tras otro, y para evitar que las cadenas sean desviadas por las siguientes, se separan mediante etapas de amplificación intermedias en transistores. En ocasiones, para el mismo fin, se eligen cadenas posteriores con mayor resistencia. Sin embargo, en cualquier caso, la respuesta en frecuencia de los filtros en la región de la frecuencia de corte resulta muy plana. Los filtros activos, en los que el propio elemento amplificador (transistor) sirve como elemento filtrante, pueden corregir la situación. En la Fig. 33 muestra un diagrama de un filtro de paso bajo activo (Sallen-Key). El elemento activo que contiene debe tener ganancia unitaria y no invertir la señal. Además, se requieren impedancias de entrada altas y bajas de salida. Estos requisitos los cumple un seguidor de transistor (fuente) basado en transistores o (mejor) un amplificador operacional, cuya entrada inversora está conectada a la salida. Las resistencias generalmente se seleccionan con la misma resistencia y la capacitancia del capacitor C2 es 2...2,5 veces menor que la capacitancia C1. Frecuencia de corte del filtro
El filtro funciona así. A frecuencias por debajo de la frecuencia de corte de los circuitos RC, el voltaje de salida prácticamente repite el voltaje de entrada y el capacitor C1 se apaga, ya que ambas placas tienen el mismo potencial. La señal se transmite sin atenuación. A medida que aumenta la frecuencia, entra en juego RC2 y el voltaje de salida disminuye. Entonces el circuito RC1 también entra en vigor, debilitando aún más la señal de salida. Como resultado, se forma una fuerte caída en la respuesta de frecuencia por encima de la frecuencia de corte. Al cambiar la relación de capacitancias C1 y C2, puede obtener una respuesta de frecuencia suave y monótonamente decreciente dentro de la banda de paso (filtro Butterworth), e incluso puede formar algún aumento antes de la frecuencia de corte (filtro Chebyshev). Habiendo formado tal aumento (curva 1 en la Fig. 34), es aconsejable agregar otro enlace pasivo (curva 2), que compensará el aumento y hará que la respuesta de frecuencia se incline detrás de la frecuencia de corte aún más pronunciada (curva 3). |K| disminuirá 8 veces con un aumento doble en la frecuencia. El resultado es un filtro de tercer orden con una pendiente de 18 dB por octava. Como ejemplo en la Fig. La Figura 35 muestra un diagrama de dicho filtro de paso bajo con una frecuencia de corte de 3 kHz. El filtro se puede ajustar fácilmente a otras frecuencias cambiando los valores de todos los condensadores en proporción inversa a la frecuencia. Se obtiene un filtro de paso alto con características similares intercambiando resistencias y condensadores y cambiando sus valores en consecuencia. Sobre el orden de los filtros: está determinado por el número de elementos reactivos del filtro, y la pendiente de la pendiente de la respuesta de frecuencia depende del orden. Así, los enlaces de primer orden (Fig. 28,a y 31,a) debilitan la señal 2 veces con un doble cambio de frecuencia (6 dB/oct.), el filtro de segundo orden (Fig. 33) - por 4 veces (12 dB/oct.) oct.), filtro de tercer orden (Fig. 35) - 8 veces (18 dB/oct.).
Pregunta para autoexamen. Algunos amplificadores 20H de alta calidad (ancho de banda 20 Hz...3 kHz) tienen una impedancia de entrada de 100 kOhm, la fuente de señal tiene la misma impedancia de salida. Están conectados mediante un cable blindado con una capacitancia lineal de 100 pF/m. La longitud del cable es de 3,2 m. Además, en la entrada del amplificador se incluye un condensador separador con una capacidad de 0,01 μF. ¿Se ha hecho todo correctamente? ¿Cuál será la banda de frecuencia real y qué se debe hacer para corregir la situación? respuesta. Dibujemos un circuito equivalente (Fig. 63) que contenga una fuente de señal G1 con resistencia interna r, un cable con capacitancia C1, un capacitor de aislamiento C2 y la resistencia de entrada del amplificador R1.
Las altas frecuencias son atenuadas por la capacitancia del cable, en paralelo al cual están conectadas la resistencia de entrada R1 y la resistencia interna de la fuente de señal r. El condensador de acoplamiento C2 a altas frecuencias tiene una resistencia despreciable y puede ignorarse. Conectando dos resistencias de 100 kOhm en paralelo se obtiene un valor total de 50 kOhm. La capacitancia del cable C1 es 100 pF/m x 3,2 m = 320 pF. Usando la fórmula fc= 1/2πRC determinamos la frecuencia superior de la banda de paso: f B = 1/6,28 320 10-12-50 103 = 104 Hz = 10 kHz. Para aumentarlo a 20 kHz, debe acortar el cable a la mitad, seleccionar un cable con la mitad de la capacitancia lineal o reducir la impedancia de salida de la fuente de señal a aproximadamente 30 kOhm para que la resistencia total conectada en paralelo al cable No son 50, sino 25 kOhm. Es preferible el último método, ya que también aumenta el voltaje en la entrada del amplificador. De hecho, si las resistencias de la fuente de señal y del amplificador son iguales, es la mitad de la fem de la fuente, y cuando la resistencia de la fuente de señal se reduce a 30 kOhm, alcanzará el 75% de la fem de la fuente. Por esta razón, a menudo se instalan seguidores de cátodo, emisor o fuente con baja impedancia de salida en la salida de fuentes de señal que funcionan con cables de conexión largos. Calculemos ahora la frecuencia límite inferior de la banda de paso. Está determinada por el condensador de aislamiento C2 (0,01 μF) y la resistencia total de la fuente de señal y la entrada del amplificador conectados en serie (r+R1 = 100+100 = 200 kOhm). Usando la misma fórmula, calculamos la frecuencia de corte de esta cadena RC (HPF): fH = 1/2πRC = 1/6,28 2 105· 10-8 = 80 Hz. Para reducir la frecuencia de corte a 20 Hz, la capacitancia del condensador de acoplamiento debe aumentarse al menos 4 veces. El valor de capacitancia estándar más cercano es 0,047 µF. Si, de acuerdo con la recomendación anterior, la resistencia de salida de la fuente de señal r se reduce a 30 kOhm, entonces la resistencia total de la cadena del filtro de paso alto será r + R1 = 30 + 100 = 130 kOhm, y la requerida La capacitancia del condensador de acoplamiento será igual a: C \u1d 2 / 1πf FC \u6,28d 20 / 1,3 10 XNUMX-XNUMX5= 0,07 uF. Autor: V.Polyakov, Moscú
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