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DESCUBRIMIENTOS CIENTÍFICOS MÁS IMPORTANTES
Logaritmos. Historia y esencia del descubrimiento científico.
Directorio / Los descubrimientos científicos más importantes. A lo largo del siglo XVI, el número de cálculos aproximados aumentó rápidamente, principalmente en astronomía. El estudio de los movimientos planetarios requería cálculos colosales. Los astrónomos podrían simplemente ahogarse en cálculos imposibles. Surgieron dificultades obvias en otras áreas, como las finanzas y los seguros. La principal dificultad era la multiplicación y división de números de varios dígitos, especialmente cantidades trigonométricas. A veces, se usaban tablas de senos y cosenos para reducir la multiplicación a sumas y restas más fáciles. También se compiló una tabla de cuadrados hasta 100, con la ayuda de la cual se podía realizar la multiplicación de acuerdo con una determinada regla. Sin embargo, estos métodos no proporcionaron una solución satisfactoria al problema. Le trajeron tablas de logaritmos. “El descubrimiento de los logaritmos se basó en las propiedades de las progresiones bien conocidas a fines del siglo XVI”, escriben M. V. Chirikov y A. P. Yushkevich. “La conexión entre los miembros de la profesión geométrica y la progresión aritmética se ha observado más de una vez. por los matemáticos, fue mencionado en Psammit” Arquímedes. Otro requisito previo fue la extensión del concepto de grado a exponentes negativos y fraccionarios, lo que hizo posible transferir la conexión que acabamos de mencionar a un caso más general... Muchos... autores han señalado que la multiplicación, la división, la elevación a una potencia y la extracción de una raíz corresponden exponencialmente en aritmética -en el mismo orden- a la suma, la resta, la multiplicación y la división. Aquí ya se ocultaba la idea del logaritmo de un número como indicador de la potencia a la que se debe elevar una determinada base para obtener dicho número. Quedaba por transferir las propiedades familiares de una progresión con un término común a cualquier exponente real. Esto daría una función exponencial continua que toma cualquier valor positivo, así como su función logarítmica recíproca. Pero esta idea de profundo significado fundamental se desarrolló después de varias décadas. Los logaritmos fueron inventados de forma independiente por Napier y Burgi unos diez años después. Su objetivo era el mismo: el deseo de proporcionar un nuevo medio conveniente de cálculos aritméticos. El enfoque resultó ser diferente. Napier expresó cinemáticamente la función logarítmica, lo que le permitió entrar esencialmente en el campo casi inexplorado de la teoría de funciones. Bürgi se mantuvo sobre la base de la consideración de progresiones discretas. Cabe señalar que para ambos la definición del logaritmo no era como la moderna. El primer inventor de los logaritmos, el barón escocés John Napier (1550-1617), se educó en su casa de Edimburgo. Luego, tras viajar por Alemania, Francia y España, a la edad de veintiún años, se instaló definitivamente en la finca familiar cerca de Edimburgo. Napier se dedicó principalmente a la teología y las matemáticas, que estudió a partir de las obras de Euclides, Arquímedes, Regiomontanus, Copérnico. "Al descubrimiento de los logaritmos", señalan Chirikov y Yushkevich, "Neper llegó a más tardar en 1594, pero solo veinte años después publicó su "Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos" (1614), que contenía la definición de los logaritmos de Neper, sus propiedades y tablas de logaritmos de senos y cosenos de 0 a 90 grados con intervalo de 1 minuto, así como las diferencias de estos logaritmos, dando los logaritmos de tangentes. Expuso las conclusiones teóricas y explicaciones del método de cálculo la tabla en otra obra, preparada probablemente antes de la "Descripción", pero publicada póstumamente, en "Construyendo unas asombrosas tablas de logaritmos" (1619). Mencionemos que en ambas obras Napier también considera algunas cuestiones de trigonometría. Son especialmente conocidas las "analogías" convenientes para el logaritmo, es decir, las proporciones de Napier utilizadas para resolver triángulos esféricos en dos lados y el ángulo entre ellos, y también en dos esquinas y el lado adyacente a ellos. Napier desde el principio introdujo el concepto de logaritmo para todos los valores de cantidades trigonométricas que cambian continuamente: seno y coseno. En el estado de las matemáticas de entonces, cuando aún no existía un aparato analítico para el cálculo de infinitesimales, el único y natural medio para ello era la definición cinemática del logaritmo. Quizás la influencia y las tradiciones que se remontan a la escuela de Oxford del siglo XIV no quedaron aquí sin influencia. La definición de logaritmo de Napier se basa en la idea cinemática, que generaliza a cantidades continuas la conexión entre la profesión geométrica y la progresión aritmética de los indicadores de sus miembros. Napier presentó la teoría de los logaritmos en la obra "Construcción de asombrosas tablas de logaritmos", publicada póstumamente en 1619 y reeditada en 1620 por su hijo Robert Napier. Aquí hay extractos de él: "La tabla de logaritmos es una tabla pequeña con la que se pueden averiguar, mediante cálculos muy fáciles, todas las dimensiones y movimientos geométricos. Con justicia se llama pequeña, porque supera en volumen a las tablas de senos, muy fácil, porque con con su ayuda todas las multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces complejas, y todas las figuras y movimientos en general, se miden haciendo las sumas, restas y divisiones por XNUMX más fáciles. Se compone de números en proporción continua. 16. Si restas su parte 10000000 del seno completo con siete ceros agregados, y su parte 10000000 del número así obtenido, y así sucesivamente, entonces esta serie puede continuarse fácilmente hasta cien números en la proporción geométrica que existe entre el seno completo y el seno menor que uno, es decir, entre 10000000 y 9999999, y a esta serie de proporcionales la llamaremos Primera Tabla. 17. La segunda tabla se deriva del seno completo con seis ceros agregados a través de otros cincuenta números que disminuyen proporcionalmente en una proporción que es la más simple y posiblemente la más cercana a la proporción entre el primer y el último número de la Primera Tabla. Dado que el primer y último número de la Primera Tabla son 10000000.0000000 y 9999900.004950, es difícil formar cincuenta números proporcionales a este respecto. Una relación cercana y al mismo tiempo simple es 100000 a 99999, que se puede continuar con suficiente precisión agregando seis ceros al seno completo y restando sucesivamente su parte 100000 de la anterior. Esta tabla contiene, además del seno completo, que es el primer número, otros cincuenta números proporcionales, el último de los cuales (si no te equivocas) será 9995001.222927. 18. La Tercera Tabla consta de sesenta y nueve columnas, y en cada columna hay veintiún números, siguiendo una relación que es la más simple y lo más cercana posible a la relación existente entre el primero y el último miembro de la Segunda Tabla . Por lo tanto, su primera columna se puede obtener muy fácilmente del seno completo con cinco ceros agregados y de los números posteriores restándoles la parte 2000. 19. Los primeros números de todas las columnas se derivan del seno completo con cuatro ceros agregados en una proporción que es la más simple y cercana a la proporción que existe entre el primer y el último número de la primera columna... 20. En la misma proporción, se debe formar una progresión del segundo número de la primera columna para los segundos números de todas las columnas, y del tercero para el tercero, y del cuarto para el cuarto, y en consecuencia del resto para el resto. Así, de cualquier número de la columna anterior, restándole su centésima parte, se obtiene un número del mismo orden de la columna siguiente... 21 .... estas tres tablas (después de haberlas compilado) son suficientes para calcular la tabla de logaritmos". En 1620, el suizo Jost Burgi (1552-1632), un mecánico y relojero altamente calificado, publicó el libro "Tablas de progresiones aritméticas y geométricas", junto con una instrucción detallada sobre cómo deben entenderse y usarse con beneficio en todo tipo de cálculos" (1620). Como escribió el propio Burgi, partió de consideraciones sobre la correspondencia entre la multiplicación en progresión geométrica y la suma en aritmética. El problema era elegir una progresión con un denominador lo suficientemente cercano a uno, de modo que sus términos se siguieran a intervalos lo suficientemente pequeños para los cálculos prácticos. Sin embargo, las tablas de Bürgi no recibieron una distribución significativa. No podían competir con las mesas de Napier, que eran más convenientes y en ese momento ya ampliamente conocidas. Ni Napier ni Burga tenían, estrictamente hablando, una base de logaritmos, ya que el logaritmo de la unidad difiere de cero. Y mucho más tarde, cuando ya habíamos pasado a los logaritmos decimales y naturales, aún no se había formulado la definición del logaritmo como indicador del grado de una base dada. Aparece en manuales por primera vez, probablemente en W. Gardiner (1742). Sin embargo, el propio Gardiner utilizó los trabajos del profesor de matemáticas W. Jones. La amplia difusión de la definición moderna del logaritmo fue más que otras promovidas por Euler, quien utilizó el término "fundamento" al respecto. El término "logaritmo" pertenece a Napier, se originó a partir de una combinación de las palabras griegas "razón" y "número", y significa "número de razón". Aunque inicialmente Napier usó un término diferente: "números artificiales". Las tablas de Napier, adaptadas a los cálculos trigonométricos, eran inconvenientes para operaciones con números dados. Para eliminar estas deficiencias, Napier propuso compilar tablas de logaritmos, tomando cero para el logaritmo de uno y solo uno para el logaritmo de diez. Hizo esta propuesta durante una discusión con Henry Briggs (1615-1561), profesor de matemáticas en el Gresh College de Londres, quien lo visitó en 1631, y quien él mismo pensó en cómo mejorar las tablas de logaritmos. Debido a problemas de salud, Napier no pudo participar en la implementación de su plan, pero indicó la idea de dos métodos computacionales desarrollados por Briggs. Briguet publicó los primeros resultados de sus minuciosos cálculos - "Los primeros mil logaritmos" (1617) en el año de la muerte de Napier. Aquí se dieron los logaritmos decimales de los números del 1 al 1000 con catorce cifras. La mayoría de los logaritmos decimales de los números primos los encontró Briguet extrayendo raíces cuadradas. Más tarde, ya siendo profesor en Oxford, publicó Logarithmic Arithmetic (1624). El libro contenía logaritmos de catorce dígitos de números del 1 al 20 000 y del 90 000 al 100 000. El vacío restante lo llenó el librero y matemático holandés Andrian Flakk (1600-1667). Algo antes, las tablas decimales de siete dígitos de logaritmos de senos y tangentes fueron calculadas por el colega de Briggs en Gresham College, un graduado de la Universidad de Oxford, Edmund Gunter (1581-1626), quien las publicó en el Código de Triángulos (1620). El descubrimiento de Napier en los primeros años ganó una popularidad excepcionalmente amplia. Muchos matemáticos se han dedicado a la compilación de tablas logarítmicas y su mejora. Asi que, Kepler en Marburg en 1624-1625 aplicó logaritmos a la construcción de nuevas tablas de movimientos planetarios. En el apéndice de la segunda edición de la Descripción de Napier (1618), también se calcularon varios logaritmos naturales. Aquí puede ver el enfoque de la introducción del límite. Lo más probable es que esta adición pertenezca a V. Ootred. Pronto, el profesor de matemáticas de Londres, John Speydell, publicó tablas de logaritmos naturales de números del 1 al 1000. El término "logaritmos naturales" fue introducido por P. Mengoli (1659), y algo más tarde por N. Mercator (1668). La importancia práctica de las tablas calculadas fue muy grande. Pero el descubrimiento de los logaritmos también tuvo una profunda importancia teórica. Dio vida a investigaciones que los primeros inventores ni siquiera podían soñar, persiguiendo el objetivo solo de facilitar y acelerar los cálculos aritméticos y trigonométricos con números grandes. El descubrimiento de Napier, en particular, abrió el camino al reino de las nuevas funciones trascendentales y dio poderosos estímulos al desarrollo del análisis. Autor: Samin D.K.
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