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DESCUBRIMIENTOS CIENTÍFICOS MÁS IMPORTANTES
Geometría no euclidiana. Historia y esencia del descubrimiento científico.
Directorio / Los descubrimientos científicos más importantes. En definicion de euclides Las rectas paralelas son rectas que se encuentran en el mismo plano y nunca se encuentran, por mucho que las alarguemos. Pero ya los comentaristas más antiguos de Euclides, Posidonio (siglo II a. C.), Gémino (siglo I a. C.), Ptolomeo (siglo II d. C.) - no consideraron que el quinto postulado de Euclides tuviera la misma evidencia que otros postulados y axiomas de Euclides. , y trató de deducirlo como consecuencia de otras disposiciones, o reemplazar la definición de paralelo dada por Euclides con otra definición. En la segunda mitad del siglo XVII Leibniz también crítico de las principales disposiciones de Euclides. Como es bien sabido, también quería construir un análisis puramente geométrico que expresara directamente las propiedades de la posición, tal como el álgebra expresa la magnitud. Pero recién en la primera mitad del siglo XVIII la idea llegó a aplicarse a la cuestión de las líneas paralelas y llevó a cabo sistemáticamente en la teoría de las líneas paralelas ese método de prueba por contradicción, que tan a menudo usaban los matemáticos griegos. Esta brillante idea perteneció a Saccheri. En la obra publicada el año de su muerte, “Euclides, liberado de toda mancha”, Saccheri toma como punto de partida un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos, perpendiculares a la base, son iguales. En tal cuadrilátero, los ángulos formados por lados iguales con el lado opuesto a la base son iguales, y la prueba de esta propiedad del cuadrilátero no depende del postlato de Euclides. Si son rectos, entonces se prueba el postlato de Euclides, ya que en este caso la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Pero Saccheri (y esta es su genial idea original) también formula otras dos hipótesis: la hipótesis del ángulo agudo y la hipótesis del ángulo obtuso, deduce de estas hipótesis las siguientes consecuencias y trata de demostrar la imposibilidad de estas consecuencias, es decir, la admisibilidad de una sola. Hipótesis del ángulo recto. Se las arregla fácilmente para demostrar que la hipótesis del ángulo obtuso es inaceptable, ya que conduce a contradicciones. Para encontrar la misma contradicción en la hipótesis del ángulo agudo, deduce una serie de teoremas notables, que más tarde fueron demostrados nuevamente por Legendre. Se trata, por ejemplo, de teoremas según los cuales si una u otra hipótesis o una tercera hipótesis se cumple para un cuadrilátero, también se cumple para cualquier otro. Tres años después de su aparición, en 1766, Lambert plantea el mismo problema que Saccheri. En lugar de un cuadrilátero con dos ángulos rectos y dos lados iguales, Lambert considera un cuadrilátero con tres ángulos rectos y hace tres hipótesis sobre el cuarto ángulo. Su exposición tiene algunas peculiaridades con respecto a la de Saccheri: evita recurrir a argumentos basados en la continuidad. Del hecho de que en las hipótesis de un ángulo obtuso y agudo no hay similitud de figuras, Lambert deduce la conclusión sobre la existencia de una medida absoluta. En 1799, el brillante matemático Karl Gauss siguió el camino que Saccheri y Lambert habían recorrido antes que él: el camino de una derivación sistemática de todas las consecuencias de la hipótesis del ángulo agudo. Pero sus reflexiones llevaron a dudas sobre la posibilidad de probar el axioma de Euclides, y en 1816 el matemático estaba convencido de que tal prueba era imposible. La opinión pública de Gauss sobre la indemostrabilidad del axioma de Euclides no tuvo influencia e incluso fue objeto de rudos ataques. Esta fue una de las razones por las que decidió no publicar sus investigaciones y pensamientos sobre la cuestión de las fundaciones, "por miedo al grito de los beocios" (carta a Bessel fechada el 27 de enero de 1829). Pero no interrumpió su investigación y con el mayor interés y simpatía acogió aquellos trabajos y pensamientos que coincidían con sus investigaciones y puntos de vista. Hasta dónde llegó por este camino se muestra en su carta a Wolfgang Bolyai fechada el 6 de marzo de 1832, en la que Gauss dice que entre 1797 y 1802 encontró los resultados a los que llegó Johann Bolyai. Por ejemplo, una prueba puramente geométrica del teorema de que en la geometría no euclidiana la diferencia de la suma de los ángulos de un triángulo de 180 grados es proporcional al área del triángulo. Wolfgang Bolyai, un amigo de la escuela de Gauss, mostró un gran interés en la teoría de las líneas paralelas. Este extraordinario interés, según la carta a su hijo de 1820, le envenenó todas las alegrías de la vida, le convirtió en mártir del deseo de liberar de mancha la geometría, "quitar la nube que oscurece la belleza de la virgen-verdad". Pero mientras que los esfuerzos de casi toda la vida de su padre estuvieron dirigidos a la demostración del 5º postulado, y no logró el objetivo, su talentoso hijo fue uno de los creadores de la geometría no euclidiana. Johann Bolyai nació en 1802 en Klausenburg. Ya en 1807, su padre escribía con deleite y orgullo a Gauss sobre las extraordinarias habilidades matemáticas del muchacho, quien a los trece años ya había estudiado planimetría, estereometría, trigonometría, secciones cónicas, y a los 14 ya resolvía problemas de cálculo diferencial e integral con facilidad. Wolfgang no pudo enviar a su hijo a estudiar en Göttingen con el "coloso matemático", y en 1818 Johann ingresó a la Academia de Ingeniería de Viena, donde se prestó mucha atención a las matemáticas superiores. En 1823, completó su curso en la academia y, como ingeniero militar, fue enviado a la fortaleza de Temetvar. Es bastante natural que Johann, que poseía extraordinarias habilidades matemáticas, casi como un niño, decidiera intentar resolver el problema que atormentaba a su padre, pero sobre el cual su padre le dijo que quien lo resolviera era digno de un diamante. el tamaño del globo. En 1820, Johann le informa a su padre que ya ha encontrado una manera de probar el axioma, y luego su padre le escribe una carta acalorada advirtiéndole que no se involucre en la teoría de las líneas paralelas. En una noche de invierno de 1823, encontró esa relación básica entre la longitud de una perpendicular que cae de un punto a una línea recta y el ángulo que forma la asíntota (línea paralela) con esta perpendicular. Lobachevsky), que es la clave de la trigonometría no euclidiana. Entusiasmado por su descubrimiento, que le pareció abrir el camino a la demostración del Axioma XI, escribe el 3 de noviembre desde Temetvar a su padre: "Creé un mundo nuevo y diferente de la nada. Todo lo que he enviado hasta ahora es sólo un castillo de naipes en comparación con la torre que ahora se está erigiendo". En 1829, Wolfgang completó un extenso ensayo matemático, en el que trabajó durante unos veinte años. Como apéndice de este libro se publicó también la inmortal obra de Johann Boliai. Por supuesto, Boliai no sospechaba que al mismo tiempo en la lejana Kazan Lobachevsky estaba publicando su primer trabajo "Sobre los principios de la geometría" (1829). Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856) nació en el distrito de Makaryevsky de la provincia de Nizhny Novgorod. Su padre ocupaba el puesto de arquitecto de distrito y pertenecía al número de los suboficiales que recibían un exiguo contenido. La pobreza que lo rodeó en los primeros días de su vida se convirtió en pobreza cuando en 1797 murió su padre y su madre de veinticinco años se quedó sola con los niños sin recursos. En 1802, trajo a tres hijos a Kazan y los asignó al Gimnasio de Kazan, donde rápidamente se notaron las habilidades fenomenales de su hijo mediano. Cuando en 1804 la clase superior del gimnasio de Kazan se transformó en una universidad, Lobachevsky se incluyó en el número de estudiantes en el departamento de ciencias naturales. El joven estudió brillantemente. Lobachevsky recibió una excelente educación. El profesor Litroff leyó conferencias sobre astronomía. Escuchó conferencias sobre matemáticas del profesor Bartels, alumno de un científico tan destacado como Carl Friedrich Gauss. Ya en 1811, Lobachevsky recibió una maestría y se quedó en la universidad para prepararse para una cátedra. En 1814, Lobachevsky recibió el título de asociado de matemáticas puras, y en 1816 fue nombrado profesor. Desde 1819 Lobachevsky enseñó astronomía. La actividad administrativa del científico se inició en 1820, cuando fue elegido decano. A pesar de la agotadora actividad práctica que no le dejaba un solo momento de descanso, Lobachevsky nunca detuvo sus estudios científicos y durante su rectorado publicó sus mejores trabajos en las Notas Científicas de la Universidad de Kazan. Si Johann Bolyai comenzó a estudiar la teoría de las líneas paralelas bajo la influencia de su padre, Lobachevsky pudo comenzar a estudiarla solo porque el interés en esta teoría revivió especialmente a fines del siglo XVIII y principios del XIX. En el vigésimo quinto aniversario que precedió a la aparición de la primera obra de Lobachevsky, no pasó un año sin que aparecieran una o más obras sobre la teoría de las líneas paralelas. Se conocen hasta 30 obras, impresas únicamente en alemán y francés desde 1813 hasta 1827. El trabajo de Legendre despertó el interés por la teoría de las líneas paralelas también entre los matemáticos rusos. El primer académico ruso que se ganó un lugar de honor en la historia de la enseñanza matemática rusa con sus trabajos publicados, CE. Gur'ev, en su obra más importante, Ensayo sobre la mejora de los elementos de la geometría, publicado en 1798, prestó especial atención a la teoría de las líneas paralelas ya las demostraciones de Legendre. Criticando estas pruebas, Guriev ofrece las suyas propias. Basado en la afirmación de que, bajo ciertas condiciones, las líneas que nos parecen paralelas pueden cruzarse, Lobachevsky llegó a la conclusión de que es posible crear una geometría nueva y consistente. Dado que su existencia era imposible de imaginar en el mundo real, el científico la llamó "geometría imaginaria". Pero él, como yo. Boliai, no se le ocurrió esta idea de inmediato. Las conferencias de 1815-1817, el libro de texto de geometría de 1823 y la "Exposition succincte des principes de la geometrie", que no ha llegado hasta nosotros, leídos en una reunión del Departamento de Física y Matemáticas el 12 de febrero de 1826: estos son las tres etapas del pensamiento de Lobachevsky en el campo de la teoría de las paralelas. En conferencias, da tres formas diferentes de justificarlo; en un libro de texto de 1823, declara que todas las demostraciones dadas hasta ahora no merecen ser honradas en el pleno sentido de las matemáticas, y, finalmente, tres años después ya da ese sistema para construir la geometría en una posición diferente al postulado de Euclides. , que inmortalizó su nombre. "Exposición" no nos ha llegado. La primera obra impresa de Lobachevsky, que él llama un extracto de la Exposición, se publicó en Kazan Vestnik en 1829-1830. Esta fecha establece la prioridad de la publicación del descubrimiento de Lobachevsky en comparación con I. Boliai, ya que el "Apéndice" de este último se publicó en 1831 y se agotó solo en 1832. Como muestra el título "Exposición", tenía como tema no solo la teoría exacta de las líneas paralelas, sino que también se dedicaba a la cuestión de los principios de la geometría. Aunque tanto I. Boliai como Lobachevsky fueron elegidos miembros de la Academia de Ciencias de Hannover por este descubrimiento, fue la geometría de Lobachevsky la que recibió derechos de ciudadanía en Europa occidental. En 1837 se publicaron en francés las obras de Lobachevsky. En 1840 publicó en alemán su teoría de las paralelas, que mereció el reconocimiento del gran Gauss. En Rusia, Lobachevsky no vio la evaluación de sus trabajos científicos. Obviamente, la investigación de Lobachevsky estaba más allá de la comprensión de sus contemporáneos. Algunos lo ignoraron, otros saludaron su trabajo con burlas groseras e incluso regaños. Mientras que nuestro otro matemático de gran talento Ostrogradsky disfrutó de una merecida fama, nadie conocía a Lobachevsky; El mismo Ostrogradsky lo trató con burla u hostilidad. Muy correctamente, o mejor dicho, completamente, un geómetra llamó a la geometría estelar de la geometría de Lobachevsky. Uno puede hacerse una idea de las distancias infinitas si recuerda que hay estrellas desde las cuales la luz llega a la Tierra durante miles de años. Entonces, la geometría de Lobachevsky incluye la geometría de Euclides no como un caso particular, sino como un caso especial. En este sentido, la primera puede llamarse una generalización de la geometría que conocemos. Ahora surge la pregunta, ¿Lobachevsky posee la invención de la cuarta dimensión? De nada. La geometría de cuatro y muchas dimensiones fue creada por el matemático alemán, alumno de Gauss, Riemann. El estudio de las propiedades de los espacios en forma general constituye ahora la geometría no euclidiana, o la geometría de Lobachevsky. El espacio de Lobachevsky es un espacio de tres dimensiones, que se diferencia del nuestro en que en él no tiene lugar el postulado de Euclides. Las propiedades de este espacio ahora se están entendiendo asumiendo una cuarta dimensión. Pero este paso ya pertenece a los seguidores de Lobachevsky. Naturalmente, surge la pregunta, ¿dónde está ese espacio? La respuesta la dio el físico más grande del siglo XX. Albert Einstein. Basado en los trabajos de Lobachevsky y los postulados de Riemann, creó la teoría de la relatividad, que confirmó la curvatura de nuestro espacio. Según esta teoría, cualquier masa material curva el espacio circundante. La teoría de Einstein fue repetidamente confirmada por observaciones astronómicas, como resultado de lo cual quedó claro que la geometría de Lobachevsky es una de las ideas fundamentales sobre el Universo que nos rodea. Autor: Samin D.K.
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