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DESCUBRIMIENTOS CIENTÍFICOS MÁS IMPORTANTES
El último teorema de Fermat. Historia y esencia del descubrimiento científico.
Directorio / Los descubrimientos científicos más importantes. Uno de los obituarios de Pierre de Fermat decía: "Fue una de las mentes más notables de nuestro siglo, un genio tan universal y tan versátil que si todos los científicos no rindieran homenaje a sus extraordinarios méritos, sería difícil creer todas las cosas". que hay que decir de él. decir para no perder nada en nuestro elogio". Desafortunadamente, no se sabe mucho sobre la vida del gran científico. Pierre Farm (1601-1665) nació en el sur de Francia en la pequeña ciudad de Beaumont-de-Lomagne, donde su padre, Dominique Fermat, era el "segundo cónsul", es decir, ayudante del alcalde. Dominique Fermat le dio a su hijo una educación muy sólida. En el colegio de su ciudad natal, Pierre adquirió un buen conocimiento de los idiomas: latín, griego, español, italiano. Posteriormente escribió poesía en latín, francés y español. Fermat fue famoso como un gran conocedor de la antigüedad, fue consultado sobre pasajes difíciles en las ediciones de los clásicos griegos. Sin embargo, Pierre dirigió toda la fuerza de su genio a la investigación matemática. Sin embargo, las matemáticas no se convirtieron en su profesión. Los científicos de su tiempo no tuvieron la oportunidad de dedicarse por completo a su amada ciencia. La finca elige la jurisprudencia. Se le otorgó una licenciatura en Orleans. Desde 1630, Fermat se trasladó a Toulouse, donde obtuvo un puesto como asesor en el Parlamento (es decir, la corte). De sus actividades jurídicas se dice en una "palabra encomiable" que las realizó "con gran esmero y tal habilidad que se hizo famoso como uno de los mejores abogados de su tiempo". Durante la vida de Fermat, su trabajo matemático se dio a conocer principalmente a través de la extensa correspondencia que mantuvo con otros científicos. Las obras completas, que intentó escribir repetidamente, nunca fueron creadas por él. Sí, esto no es sorprendente dado el arduo trabajo en la corte que tuvo que realizar. Ninguno de sus escritos fue publicado durante su vida, sin embargo, dio a varios tratados un aspecto completamente terminado, y se hicieron conocidos en forma manuscrita por la mayoría de sus eruditos contemporáneos. Además de estos tratados, quedó su extensa y sumamente interesante correspondencia. En el siglo XVII, cuando no existían revistas científicas especiales, la correspondencia entre científicos jugaba un papel especial. Estableció tareas, informó sobre métodos para resolverlas y discutió cuestiones científicas agudas. Los corresponsales de Fermat fueron los más grandes científicos de su tiempo: Descartes, Étienne Pascal y Blaise Pascal, de Beesi, Huygens, Torricelli, Vallis. Las cartas se enviaban directamente al corresponsal oa París al Abbé Mersenne (un compañero de estudios de Descartes en la universidad); este último los multiplicó y los envió a aquellos matemáticos que se ocupaban de cuestiones similares. Uno de los primeros trabajos matemáticos de Fermat fue la restauración de dos libros perdidos de Apolonio "Sobre los lugares planos". El gran servicio de Fermat a la ciencia suele verse en su introducción de una cantidad infinitesimal en la geometría analítica, tal como se hizo un poco antes. Kepler en cuanto a la geometría de los antiguos. Dio este paso importante en su trabajo de 1629 sobre las cantidades más grandes y más pequeñas, trabajos que abrieron una de las series de estudios más importantes de Fermat, que son uno de los eslabones más grandes en la historia del desarrollo no solo del análisis superior en general, sino también análisis de infinitesimales en particular. A finales de los años veinte, Fermat descubrió métodos para encontrar extremos y tangentes que, desde un punto de vista moderno, se reducen a encontrar una derivada. En 1636, la presentación completa del método se transfirió a Mersenne, y todos podían obtener familiarizado con él. Antes de Fermat, el científico italiano Cavalieri desarrolló métodos sistemáticos para calcular áreas. Pero ya en 1642, Fermat descubrió un método para calcular áreas limitadas por cualquier "parábola" y cualquier "hipérbola". Demostró que el área de una figura ilimitada puede ser finita. Fermat fue uno de los primeros en abordar el problema de enderezar curvas, es decir, calcular la longitud de sus arcos. Logró reducir este problema al cálculo de algunas áreas. Así, el concepto de "área" de Fermat adquirió un carácter muy abstracto. Los problemas de enderezar curvas se redujeron a la determinación de áreas, redujo el cálculo de áreas complejas con la ayuda de sustituciones al cálculo de áreas más simples. Sólo faltaba un paso para pasar del área al concepto aún más abstracto de "integral". Fermat tiene muchos otros logros. Primero llegó a la idea de las coordenadas y creó la geometría analítica. También se ocupó de los problemas de la teoría de la probabilidad. Pero Fermat no se limitó solo a las matemáticas, también estudió física, donde posee el descubrimiento de la ley de propagación de la luz en los medios. A pesar de la falta de pruebas (de las cuales solo ha sobrevivido una), es difícil sobreestimar la importancia del trabajo de Fermat en el campo de la teoría de números. Él solo logró distinguir entre el caos de problemas y preguntas particulares que surgen inmediatamente ante el investigador cuando estudia las propiedades de los números enteros, los principales problemas que se convirtieron en el centro de toda la teoría clásica de los números. También posee el descubrimiento de un poderoso método general para probar proposiciones de teoría de números: el llamado método de descenso indefinido o infinito, que se discutirá a continuación. Por lo tanto, a Fermat se le puede considerar legítimamente el fundador de la teoría de números. En una carta a de Bessy fechada el 18 de octubre de 1640, Fermat hizo la siguiente declaración: si el número а no divisible por un numero primo р, entonces hay tal indicador кQue а - dividido por р, donde k es un divisor р-una. Este enunciado se llama el pequeño teorema de Fermat. Es fundamental en toda teoría elemental de números. Euler dio a este teorema varias pruebas diferentes. En el segundo libro de su Aritmética, Diofanto se planteó la tarea de representar un cuadrado dado como la suma de dos cuadrados racionales. En los márgenes, frente a esta tarea, Fermat escribió: "Por el contrario, es imposible descomponer ni un cubo en dos cubos, ni un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general a cualquier potencia mayor que un cuadrado, en dos potencias con el mismo exponente. Descubrí una prueba verdaderamente maravillosa para esto, pero estos campos son demasiado estrechos para él. Este es el famoso Gran Teorema. Este teorema tuvo un destino asombroso. En el último siglo, sus investigaciones han llevado a la construcción de las más sutiles y bellas teorías relativas a la aritmética de los números algebraicos. Se puede decir sin exagerar que jugó un papel no menor en el desarrollo de la teoría de números que el problema de resolver ecuaciones en radicales. La única diferencia es que este último ya fue resuelto por Galois, y el Gran Teorema todavía anima a los matemáticos a investigar. Por otro lado, la simplicidad de la formulación de este teorema y las palabras crípticas sobre su "prueba milagrosa" llevaron a la gran popularidad del teorema entre los no matemáticos y a la formación de toda una corporación de "fermatistas" que, en el palabras de Davenport, "tener coraje mucho más allá de sus habilidades matemáticas". Por lo tanto, el Gran Teorema ocupa el primer lugar en cuanto al número de demostraciones incorrectas que se le han dado. El mismo Fermat dejó una demostración del Gran Teorema para las cuartas potencias. Aquí aplicó un nuevo método. Fermat escribe que "dado que los métodos habituales que se encuentran en los libros eran insuficientes para probar proposiciones tan difíciles, finalmente encontré una forma muy especial de lograrlas. Llamé a este método de prueba descendencia infinita o indefinida". Fue por este método que se demostraron muchas proposiciones de la teoría de números y, en particular, con su ayuda, Euler demostró el Gran Teorema para n=4 (de una manera algo diferente del método de Fermat), y 20 años más tarde para n= 3. Fermat describió este método en su carta a Karkavy (agosto de 1659) de la siguiente manera: "Si hubiera algún triángulo rectángulo en números enteros, que tuviera un área igual al cuadrado, entonces habría otro triángulo, más pequeño que este, que tendría la misma propiedad. Si hubiera un segundo, más pequeño que el primero , que tendría la misma propiedad, entonces existiría, en virtud de este razonamiento, un tercio menos que el segundo, que tendría la misma propiedad, y, finalmente, un cuarto, quinto, descendiendo hasta el infinito. Pero si un número se da, entonces no hay (me refiero a números enteros). De donde se concluye que no hay un triángulo rectángulo con un área cuadrada. Fermat continúa diciendo que, después de mucha deliberación, pudo aplicar su método a la prueba de otras proposiciones afirmativas. “Pero para aplicar el método a la prueba de otras proposiciones”, escribe I.G. Bashmakova, “por ejemplo, para probar que cada número puede representarse por una suma de no más de cuatro cuadrados, se requiere la aplicación de “nuevos principios”, en el que Fermat no se detiene en más detalle una lista de todos los teoremas que Fermat demostró utilizando el método de la descendencia, incluido el gran teorema para el caso n = 3. Al final de la carta, Fermat expresa la esperanza de que este método ser útil para los matemáticos posteriores y mostrarles que "los antiguos no lo sabían todo" "Desafortunadamente, esta carta se publicó solo en 1879. Sin embargo, Euler restauró el método de Fermat a partir de comentarios separados y lo aplicó con éxito a problemas de análisis indefinido. En particular, también posee la demostración del gran teorema para n = 3. Recuerde que el primer intento de demostrar la indescomponibilidad del cubo de un número natural en la suma de dos cubos se realizó alrededor del año 1000 en el Oriente árabe. El método de descenso volvió a jugar un papel destacado en la investigación sobre el análisis diofántico de A. Poincaré y A. Weyl. En la actualidad, para aplicar este método, se introduce el concepto de altura, es decir, dicho número natural, que en cierto modo se pone en correspondencia con cada solución racional. Además, si es posible probar que para cada solución racional de altura A existe otra solución de altura menor que A, entonces esto implicará la irresolubilidad del problema en números racionales. Toda la teoría algebraica de números posterior hasta los artículos gaussiano desarrollado a partir de los problemas de Fermat. En el siglo XIX, las investigaciones relacionadas con el último teorema de Fermat y las leyes de reciprocidad requirieron una expansión del campo de la aritmética. Kummer, mientras trabajaba en el último teorema de Fermat, construyó aritmética para números enteros algebraicos de cierto tipo. Esto le permitió demostrar el Gran Teorema para una cierta clase de exponentes primos n. En la actualidad, la validez del Gran Teorema ha sido verificada para todos los exponentes n menores que 5500. También notamos que el Gran Teorema está conectado no solo con la teoría algebraica de números, sino también con la geometría algebraica, que ahora se está desarrollando intensamente. Pero el Gran Teorema en su forma general aún no ha sido probado. Por lo tanto, tenemos derecho a esperar aquí la aparición de nuevas ideas y métodos. Autor: Samin D.K.
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