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DESCUBRIMIENTOS CIENTÍFICOS MÁS IMPORTANTES
Teorema fundamental del álgebra. Historia y esencia del descubrimiento científico.
Directorio / Los descubrimientos científicos más importantes. "El teorema fundamental del álgebra en forma de enunciado: Una ecuación algebraica tiene tantas raíces como su grado, establecido por Girard y Descartes, - notas en su libro "En el mundo de las ecuaciones" V.A. Nikiforovsky. - Su formulación, que consiste en que un polinomio algebraico con coeficientes reales se descompone en un producto de factores lineales y cuadráticos reales, pertenece a d'Alembert y Euler. Euler informó esto por primera vez en una carta a Nicolás I Bernoulli (1687-1759) fechada el 1 de septiembre de 1742. De aquí se siguió que las raíces de las ecuaciones algebraicas con coeficientes reales pertenecen al campo de los números complejos. La primera prueba del teorema fue realizada en 1746 por d'Alembert (1717-1783). La prueba de d'Alembert del teorema fundamental del álgebra fue, sin embargo, analítica, no algebraica. El matemático francés utilizó los conceptos de análisis que aún no habían tomado forma en ese momento, como la serie de potencias, el infinitesimal. No es sorprendente que la demostración del teorema sufriera imprecisiones y luego fuera objeto de críticas devastadoras. gaussianoy luego fue olvidado. Euler dio un paso nuevo y significativo en la demostración del teorema fundamental del álgebra. Leonhard Euler (1707–1783) nació en Basilea. Al final de su educación en el hogar, Leonard, de trece años, fue enviado por su padre a la Universidad de Basilea para estudiar filosofía. Entre otras materias, en esta facultad se estudiaban matemáticas elementales y astronomía, impartidas por Johann Bernoulli. Bernoulli pronto notó el talento del joven oyente y comenzó a estudiar con él por separado. Después de obtener una maestría en 1723, después de pronunciar un discurso en latín sobre la filosofía de Descartes y Newton, Leonard, a petición de su padre, comenzó a estudiar lenguas orientales y teología. Pero se sintió cada vez más atraído por las matemáticas. Euler comenzó a visitar la casa de su maestro, y entre él y los hijos de Johann Bernoulli -Nikolai y Daniel- surgió una amistad que jugó un papel muy importante en la vida de Leonard. En 1725, los hermanos Bernoulli fueron invitados a convertirse en miembros de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Contribuyeron al hecho de que Euler se mudó a Rusia. Los descubrimientos de Euler, que, gracias a su animada correspondencia, a menudo se dieron a conocer mucho antes de su publicación, hacen que su nombre sea cada vez más conocido. Su posición en la Academia de Ciencias fue mejorando.En 1727, comenzó a trabajar con el rango de adjunto, es decir, el académico junior, y en 1731 se convirtió en profesor de física, es decir, miembro de pleno derecho de la Academia. En 1733 recibió la cátedra de matemáticas superiores, que anteriormente ocupaba D. Bernoulli, quien regresó a Basilea ese año. El crecimiento de la autoridad de Euler encontró un reflejo peculiar en las cartas que le envió su maestro Johann Bernoulli. En 1728, Bernoulli recurre al "joven más erudito y talentoso Leonhard Euler", en 1737 al "matemático más famoso e ingenioso" y en 1745 al "incomparable Leonhard Euler, el líder de los matemáticos". En 1736 aparecieron dos volúmenes de su mecánica analítica. La demanda de este libro fue grande. Se han escrito muchos artículos sobre diversas cuestiones de mecánica, pero todavía no ha habido un buen tratado de mecánica. En 1738, aparecieron dos partes de una introducción a la aritmética en alemán, en 1739, una nueva teoría de la música. A fines de 1740, el poder en Rusia pasó a manos de la regente Anna Leopoldovna y su séquito. Una situación alarmante se ha desarrollado en la capital. En este momento, el rey prusiano Federico II decidió revivir el fundado Leibniz Sociedad de Ciencias de Berlín, casi inactiva durante muchos años. A través de su embajador en Petersburgo, el rey invitó a Euler a Berlín. Euler, creyendo que "la situación comenzaba a parecer bastante incierta", aceptó la invitación. En Berlín, Euler primero reunió a su alrededor una pequeña sociedad científica, y luego fue invitado a la Real Academia de Ciencias recién restaurada y nombrado decano del departamento de matemáticas. En 1743 publicó cinco de sus memorias, cuatro de ellas sobre matemáticas. Una de estas obras es notable en dos aspectos. Indica una forma de integrar fracciones racionales descomponiéndolas en fracciones parciales y, además, se describe la forma ahora habitual de integrar ecuaciones ordinarias lineales de orden superior con coeficientes constantes. En general, la mayor parte de la obra de Euler está dedicada al análisis. Euler simplificó y complementó grandes secciones enteras del análisis de los infinitesimales, la integración de funciones, la teoría de series, las ecuaciones diferenciales, que ya habían comenzado antes que él, que adquirieron aproximadamente la forma que permanece detrás de ellos en gran medida hasta el día de hoy. . Euler también inició un nuevo capítulo de análisis, el cálculo de variaciones. Esta iniciativa suya pronto fue recogida por Lagrange, y se formó una nueva ciencia. La demostración de Euler del teorema fundamental del álgebra se publicó en 1751 en la obra "Investigaciones sobre raíces imaginarias de ecuaciones". Euler realizó la prueba más algebraica del teorema. Posteriormente, sus principales ideas fueron repetidas y profundizadas por otros matemáticos. Por lo tanto, los métodos para estudiar ecuaciones fueron desarrollados por primera vez por Lagrange y luego se convirtieron en una parte integral de la teoría de Galois. El teorema principal era que todas las raíces de la ecuación pertenecen al campo de los números complejos. Para probar esta posición, Euler estableció que cualquier polinomio con coeficientes reales puede expandirse a un producto de factores reales lineales o cuadráticos. Valores de números que no son reales, "Euler llamó imaginarios", escribe Nikiforovsky, "y señaló que generalmente se consideran aquellos que dan números reales en pares en suma y producto. Por lo tanto, si hay 2 m imaginarios raíces, entonces esto dará m cuadrático real de factores en la representación polinomial Euler escribe: “Por lo tanto, se dice que cada ecuación que no puede factorizarse en factores primos reales siempre tiene factores reales de segundo grado. Sin embargo, hasta donde yo sé, nadie ha probado aún con suficiente rigor la verdad de esta opinión; Por lo tanto, trataré de darle una prueba que cubra todos los casos sin excepción". El mismo concepto fue sostenido por Lagrange, Laplace y algunos otros seguidores de Euler. Gauss no estaba de acuerdo con ella. Euler formuló tres teoremas que se derivan de las propiedades de las funciones continuas. 1. Una ecuación de grado impar tiene al menos una raíz real. Si hay más de una de esas raíces, entonces su número es impar. 2. Una ecuación de grado par tiene un número par de raíces reales o no las tiene. 3. Una ecuación de grado par, en la que el término libre es negativo, tiene al menos dos raíces reales de distinto signo. A continuación, Euler demostró teoremas sobre la descomposición en factores reales lineales y cuadráticos de polinomios con coeficientes reales... Al demostrar el teorema principal, Euler estableció dos propiedades de las ecuaciones algebraicas: 1) una función racional de las raíces de la ecuación, que toma diferentes valores para todas las posibles permutaciones de las raíces A, satisface una ecuación de grado A, los coeficientes de los cuales se expresan racionalmente en términos de los coeficientes de la ecuación dada; 2) si la función racional de las raíces de la ecuación es invariante (no cambia) con respecto a las permutaciones de las raíces, entonces se expresa racionalmente en términos de los coeficientes de la ecuación original. PD Laplace en conferencias sobre matemáticas en 1795, siguiendo a Euler y Lagrange, admite la factorización de un polinomio. Al mismo tiempo, Laplace demuestra que serán reales. Así, tanto Euler como Lagrange y Laplace construyeron la prueba del teorema fundamental del álgebra sobre la suposición de la existencia de un campo de factorización de un polinomio. Un papel especial en las pruebas del teorema principal pertenece al "rey de los matemáticos" Gauss. Carl Friedrich Gauss nació (1777–1855) en Brunswick. Heredó buena salud de los parientes de su padre y un intelecto brillante de los parientes de su madre. A la edad de siete años, Karl Friedrich ingresó en la Escuela Popular de Catalina. En 1788, Gauss se trasladó al gimnasio. Sin embargo, no enseña matemáticas. Aquí se estudian las lenguas clásicas. Gauss disfruta estudiando idiomas y está progresando tanto que ni siquiera sabe en qué quiere convertirse: matemático o filólogo. Gauss es conocido en la corte. En 1791 fue presentado a Karl Wilhelm Ferdinand, duque de Brunswick. El niño visita el palacio y entretiene a los cortesanos con el arte de contar. Gracias al patrocinio del duque, Gauss pudo ingresar a la Universidad de Göttingen en octubre de 1795. Al principio escucha conferencias sobre filología y casi nunca asiste a conferencias sobre matemáticas. Pero esto no significa que no estudie matemáticas. En 1795, Gauss se apasiona por los números enteros. En otoño del mismo año, Gauss se traslada a Göttingen y literalmente se traga la literatura que cae en sus manos por primera vez: las obras de Euler y Lagrange. "El 30 de marzo de 1796, llega para él el día del bautismo creativo. - escribe F. Klein, - Gauss ya se ha dedicado durante algún tiempo a agrupar las raíces a partir de la unidad sobre la base de su teoría de las raíces "primordiales". Y luego una mañana, al despertar, de repente se dio cuenta de forma clara y distinta de que la construcción de un diecisiete gon se deriva de su teoría ... Este evento fue un punto de inflexión en la vida de Gauss. Decide dedicarse no a la filología, sino exclusivamente a las matemáticas". La obra de Gauss se convierte durante mucho tiempo en un ejemplo inalcanzable de descubrimiento matemático. Uno de los creadores de la geometría no euclidiana, Janos Bolyai, lo llamó "el descubrimiento más brillante de nuestro tiempo, o incluso de todos los tiempos". ¡Solo que era difícil comprender este descubrimiento! Gracias a las cartas a la patria del gran matemático noruego Abel, quien demostró la insolubilidad de la ecuación de quinto grado en radicales, sabemos del difícil camino que atravesó mientras estudiaba la teoría de Gauss. En 1825, Abel escribe desde Alemania: "Incluso si Gauss es el genio más grande, obviamente no se esforzó para que todos entendieran esto a la vez..." El trabajo de Gauss inspira a Abel a construir una teoría en la que "hay tantos teoremas maravillosos que simplemente creen". No hay duda de que Gauss también influyó en Galois. El propio Gauss conservó un amor conmovedor por su primer descubrimiento de por vida. El 30 de marzo de 1796, el día en que se construyó el hexágono regular de diecisiete, comienza el diario de Gauss: una crónica de sus notables descubrimientos. La siguiente entrada en el diario apareció el 8 de abril. Informó sobre la demostración del teorema de la ley cuadrática de reciprocidad, a la que llamó "áurea". Se han probado casos particulares de esta afirmación Granja, Euler, Lagrange. Euler formuló una conjetura general, cuya demostración incompleta fue dada por Legendre. El 8 de abril, Gauss encontró una prueba completa de la conjetura de Euler. Sin embargo, Gauss aún no conocía el trabajo de sus grandes predecesores. ¡Recorrió todo el difícil camino hacia el "teorema de oro" por su cuenta! Gauss hizo dos grandes descubrimientos en solo 10 días, ¡un mes antes de cumplir 19 años! Uno de los aspectos más sorprendentes del “fenómeno de Gauss” es que en sus primeros trabajos prácticamente no se basó en los logros de sus predecesores, redescubriendo en poco tiempo lo que había hecho en teoría de números en un siglo y medio por el obras de los más grandes matemáticos. En 1801, aparecieron las famosas "Investigaciones aritméticas" de Gauss. Este enorme libro (más de 500 páginas de gran formato) contiene los principales resultados de Gauss. Los "estudios aritméticos" tuvieron un gran impacto en el desarrollo posterior de la teoría de números y el álgebra. Las leyes de reciprocidad siguen ocupando uno de los lugares centrales en la teoría algebraica de números. En Braunschweig, Gauss no tuvo la oportunidad de familiarizarse con la literatura necesaria para trabajar en las Investigaciones aritméticas. Por lo tanto, viajaba a menudo a la cercana Helmstadt, donde había una buena biblioteca. Aquí, en 1798, Gauss preparó una disertación dedicada a la demostración del teorema fundamental del álgebra. Gauss dejó cuatro demostraciones del teorema fundamental del álgebra. Dedicó su tesis doctoral, publicada en 1799, a la primera prueba, titulada "Una nueva prueba del teorema de que cualquier función algebraica racional entera de un invariable puede descomponerse en factores reales de primer y segundo grado". Gauss no dejó de prestar atención a las lagunas de Euler y, lo que es más importante, criticó la formulación misma de la pregunta, cuando se suponía de antemano la existencia de las raíces de las ecuaciones. La primera demostración de Gauss, como la de d'Alembert, fue analítica. En la segunda demostración, realizada por él en 1815, el célebre matemático volvió a criticar la demostración del teorema fundamental del álgebra mediante el razonamiento, cuando se supone de antemano la existencia de las raíces de la ecuación. Gauss explicó en el párrafo introductorio la necesidad de una nueva prueba: "Aunque la prueba de la factorización de una función racional completa, que di en una memoria publicada hace 16 años, no deja nada que desear en términos de rigor y simplicidad, Es de esperar que los matemáticos no consideren indeseable que vuelva de nuevo a esta importantísima cuestión y emprenda la construcción de una segunda demostración no menos rigurosa, partiendo de principios completamente diferentes, de principios puramente analíticos. Cabe señalar que lo que Gauss llama el método analítico se llama hoy método algebraico. Para la prueba, Gauss utilizó la construcción del campo de expansión de un polinomio. Han pasado más de sesenta años cuando L Kronecker también mejoró y desarrolló el método de Gauss para construir el campo de expansión de cualquier polinomio. Posteriormente, Gauss dio dos demostraciones más del teorema fundamental del álgebra. La cuarta y última se refiere a 1848. El principal resultado de las demostraciones del teorema fundamental del álgebra de Euler, Lagrange y Gauss, I.G. Bashmakov, fue que "las pruebas algebraicas del teorema fundamental del álgebra son valiosas precisamente porque para su implementación se desarrollaron nuevos métodos profundos del álgebra y se probaron las fuerzas de los métodos y técnicas ya creados". Autor: Samin D.K.
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